第一百三十七章集合2

    集合是抽象代数的基础，像环、群都是以它为基础。对于我们，最熟悉的莫过于交集、并集。然而，学习过抽象代数后却发现补集分为相对补集和绝对补集。我们上学时学习的是绝对补集，而不是相对补集。还有开集的概念。我知道区间有开闭之分，但是集合为什么也有呢？我们知道集合表示方法有列举法和区间法。由于区间有开闭，所以对应的集合就有开闭。

    有时，还真的可以望文生义。比如，商集。你还别说，真的就和商有关。注意，不是热力学中的熵。利用选择公理，在集合族的商集里选出一个元素作为代表。由这些代表组成的元素就是代表集。那么，什么是选择公理呢？就是在集合族里的集合分别选取一个元素，作为选择函数的变量。

    在集合中，陪集是有些特别的。有时，我就想不明白为什么要用陪这个字呢？当我想到左陪集和右陪集，就觉得它们应该是对称的。不过，有时它们又是等价的。左陪集的符号是gH，而右陪集的符号是Hg。你看，这不就是在符号上对称吗？由于这里的H和g都是同一个，那么它们就应该是对称的。

    指标是一个陌生的词语，就像在天边一样。而指标集就是我不能理解的。百科里说它在实变函数里是非常重要的，那么实变函数指的是什么呢？听起来听唬人的，但是其实并不复杂。就是自变量为实数的函数。这说明了概念从来不是孤立的。话说回来，指标集就是在一个集合里选取一个元素，由单元素集合组成的集合族。

    剩余类虽然没有一个集字，但是它也是一种集合。而且环和模都有剩余类。

    我们听说次序和秩序，却没有听过半序。那么，半序是什么呢？为了理解半序，我们需要先来理解序。如果一个集合恒有a>b，ab都是集合中的元素。那么，>就是集合的序。说到底，就是符号。我们知道在实数里a>b，b>c，必然可以推出a>c。然而，在集合里，并不是总是如此。所以，这是成为半序的一个条件。同样地，还有a≥b，b≥a，那么a＝b。说实话，我有点不理解。毕竟，在实数里这就是自然而然。当然，数学是严谨的。但是，它还是让人费解。也许今后，我可以明白它的具体含义。

    象集。说到它，你是不是第一时间就想到了象棋。虽然象棋里的确有数学原理，但是这不是集合学家要研究的。我认为象集就是p维向量对应的映射的原象，那么p维向量是什么？在代数里，我们不是更喜欢用n吗？其实，这是百科的一个错误。p是表示一种域，不是维度的数量。准确来说，应该是在域p中的n维向量。有两个概念是需要记住的，它们是有效点和弱有效点。类比是一种方法，而我认为它们可以类比约束集中的有效解和弱有效解。如此看来，多学习一点是没有坏处的。