第七十五章三角形数和四边形数

    大家知道我爱玩小游戏，尤其是数字华容道。我只玩到5×5的，6×6的太复杂了。玩这个游戏时，千万不要一直都是直线思维。否则，你很难过关。有一点就是，任何一行一列都不能先全部填满。其实，这个游戏掌握了方法还是很简单的。

    好，我来说今天的话题。在学数学时，老师一直让我们数形结合。我对三角形特别感兴趣，也对三角形数有感觉。注意，不是等差数列的那种三角形数。我有个问题，是不是所有满足不等关系的三个数可以任意组合呢？对此，大家有什么看法？核桃问。

    当然不是。三角形还有角呢！

    埃斯皮诺萨，难道你不知道大角对大边吗？这意思是说三角形的三条边和三个内角一一对应。只要确定了边或者角就可以确定一个三角形。

    小尼，确定了三个角就可以确定三条边吗？其实，你错了。边和角有关系，但不是完全对应。事实上，三条边是可以确定一个三角形的。从这一点来说边比角更有意义。回到问题上，是不是所有满足不等关系的三个数都是三角形数呢？我想是的。大家随意说三个满足不等关系的数，我看看是否成立？

    埃斯皮诺萨说：我来。12、16、18。

    在几何计算器中，计算得到三个角分别是40、60、80。既然是有解的，那么说明它们三个是三角形数。

    小尼说：11.11、17.8529、17.1717。

    三个角是36、78、64。如此看来，我的结论是正确的。为了防止你们还不信，我输入了1/3、2/9、1/7结果还是有解的。通过这样的结果来说，的确是当三个数满足不等关系后就可以任意组合形成三角形。

    核桃说：我有个问题：三角形数组多还是四边形数组多？那么，大家就再次展开讨论吧！

    毫无疑问，必定是四边形数。首先根据排列组合，排列的元素越多，排列的结果就越多。其次，四边形比三角形复杂，涉及的情况更多。如果三角形数比四边形数多，就是天理不容了。我们知道从三角形数出发构造四边形数需要有个中间数。而这个中间数从理论上说是有很多个，因此客观上为四边形数组的数量增加了不少。小尼自信十足地说。

    不！正因为有中间数的存在，大大约束了四边形数。我觉得四边形数组的数量是略少于三角形数组的数量。

    就算如此，四边形数组的数量还是多于三角形数组的。因为排列中元素增加一个，结果就会增加很多个。这种效应会在高一级的多边形中体现出来。

    随意给定四个数，我们如何知道它们是不是四边形数？没错，必须要有中间数。任何四个数都有唯一一个中间数。

    艾丽西亚，你说的不对吧！四个数不是应该有两个中间数吗，就像四边形有两条对角线。

    两个中间数是可以相互确定的。只要有一个中间数确定了，那么另一个中间数也可以确定。

    后面还有一些争论，都是些关于细微细节的讨论。我觉得这样下去没有几千字是说不完的，在此就全部省略。后续的争论，大家可以自行脑补。