第723章无穷小的幽灵
“穷竭法作为微积分的雏形，被用来处理光滑的弯曲图形，包括圆和抛物线等等。” “但古希腊时代的阿基米德仅仅把这种无线切割和重组的思想用于处理静止的物体。” “一个圆被无限切割成没有面积的直线，将这无穷条直线重组成矩形计算出面积。” “一个球体被无限切割成没有体积的薄片，将这无穷块薄片重组成球体的体积。” “将穷竭法与芝诺有关于静止与运动的悖论相结合，这种无限切割的思想才能显现出其真正的力量。” “回到我们最初思考的穿过一条街道的问题，也就是所谓点动成线、线动成面、面动成体的常识。” “很显然，这种对静止物体无限切割和重组的过程与物体的连续运动过程是一样的，物体随着时间流逝而运动的轨迹就如同增加了一个空间维度。” “微积分与原始的穷竭法最大的不同之处就在于，这种新的工具被用于描述世间万物的运动过程。” “这就是我们接下来要去的世界，现代物理学的开端，万物从静止走向运动的时代，也是第二次数学危机的时代。” 李恒将书架上这本记录着穷竭法与圆周率的旧书合上。 “当然，在去往那个世界之前，还需要先打败毕达哥拉斯。” 阿基里斯胸前那枚被改造成螺旋钻头状的粉白色钥匙缓缓漂浮而起，在那表面的螺旋状花纹中，布满了密密麻麻的数字。 那是无限循环的0.99…，在螺旋的顶部，这个无限小数有了一个确切的末尾，表明它在经过无限次计算以后，结果精确的等于1。 “第一次数学危机带来的结果就是不可数尽的无穷小数，现在你已经明白了无理数是什么。” “这枚螺旋钥匙已经容纳了一个完整的无穷序列，它被改造成了一台芝诺机，能完成无限次步骤的计算，具备实在无穷的力量。” “芝诺机是超图灵机的其中一种类型，有关于图灵机和超图灵机的力量层级，理解它们需要等到第三次数学危机以后。” “人类数学的发展史就是研究无穷的历史，三次数学危机都与无穷有关，理解了这三次危机，你才能理解无穷和连续统究竟是什么。” 阿基里斯伸手握住眼前这枚粉白色的螺旋钥匙，眼前看到的视野瞬间被扩张到一个自己难以形容的状态。 她看到了一个平坦的平面上两条无限延伸的平行线在无穷远处交汇在同一点。 她看到了日取其半、万世不竭的木棍在无穷次切割后被找到了不可分割的基本组成部分。 无限可分的微观世界在这一瞬间不再无穷无尽，只存在于形而上的理念世界中的实无穷似乎突然变成了直观可见的清晰模样。 就像是隐藏在0.99…无限循环的终点处那个最简单的1一样，在抵达无穷的那一刻，难以理解的复杂事物突然变得完美而简洁。 于是，阿基里斯的眼中倒映出隐藏在那个微观世界里晦暗不明、变换不定的阴影。 这个变换不定的阴影像是藏在深渊缝隙之中长着纤长触须的头足类生物。 那无数纤细的触须从深渊中探出，连接在其他的无数生物身体上，汲取着他们的力量。 这团阴影很小很小，那些纤细的触手更是远远小于上层世界的最小量子泡沫。 但它拥有的力量却恰恰相反。 就像是传说中的奇点一样，这个隐藏在黑暗深渊间隙中的微小生物，掌握着远超那些大体型生物的力量。 “那就是毕达哥拉斯？” 她心中有些吃惊，那个如同幽魂一样的可怖阴影看起来并不比之前被她吃掉的那只莎布尼古拉斯好看多少。 比起她手中掌握的完美而简洁的实无穷，似乎这个还局限在有限世界里的毕达哥拉斯更为可怖和不可名状。 “无限的事物未必比有限的更复杂，人类研究无限宇宙找到的规律正是那些最简洁最美丽的。” “毕达哥拉斯已经走上了错路，变成了寻找无穷之路上的一只怪物。” “干掉他，或者吃掉他，然后我们就去下一站。” 李恒看着那团在深渊中蠕动的黑暗阴影，即使是这个世界里的神圣兄弟会，也想不到他们的领袖已经变成了这种不成人形的丑陋怪物。 两人之前遇到的那只营养是中子星三十二亿倍的莎布尼古拉斯并不是偶然。 那只不太可爱的小生物就是受到毕达哥拉斯的意志影响而诞生的东西。 在古希腊人的认知里，无穷是充满混乱的、不可理解的东西。 所谓无理数，就是不符合人类理性的数字。 这种认知在毕达哥拉斯寻找无穷的过程中化为了坚不可摧的信念。 它塑造了这个不允许无穷存在的世界，一个永远被困在第一次数学危机中的世界。 同时，因为自身的这种信念，在寻找无理数的过程中，毕达哥拉斯本人也随着越来越靠近无穷变成了这种不成人形的诡异模样。 虽然称不上是不可名状，但却很符合人类眼里的古神形貌。 “吃？” 阿基里斯回忆了一下那莎布尼古拉斯烤焦鸡蛋的味道，微微摇了摇头。 她举起手中那枚粉白色的螺旋状钥匙，将它像是钻头一样轻轻旋转。 螺旋钥匙的尖端位置，那个没有大小的点以无穷的力量破开了层层阻隔，将无限可分的有理数世界瞬间切割到尽头。 无尽的世界在这一刻被切割破碎，毕达哥拉斯扭曲的身影消失无踪，在无穷小的世界尽头，显现出无尽灿烂的光辉。 阿基里斯在这片纯净的白色光辉中微微眯起眼睛，她看到了两道相对而立的身影。 他们穿着黑色的西装，头上有波浪般卷曲的白色假发，手中持有棕色的拐杖，正在激烈地争吵着什么。 “牛顿和莱布尼茨，这个世界的统治者，为了微积分的发明权吵得不可开交。” 李恒随意地挥了挥手将这两道在光辉中争吵的人影拍散。 “看起来，似乎没什么不同？” 阿基里斯仔细地观察着眼前这个对应着无理数的世界。 普通的街道，普通的行人，虽然有着不同于现代地球的风貌，但无论是人与物都与她以前所在的地球没什么区别。 “虽然看起来没什么区别，但这里的确与我们之前所在的世界不一样。” “毕达哥拉斯统治的那个有理数世界位于0～1两个整数之间，我们现在所在的世界是位于两个有理数之间的无穷小区域。” “这里是纯粹的无理数的世界，你眼前所能看到的这个世界里的任何一个物体，它们都容纳着无穷的信息，即使是自身无穷小的组成部分也一样。” 阿基里斯听着他话语中反复使用的“无穷小”，直觉感受到这里面有某些不太清晰的矛盾之处。 她低头看着自己手掌上像是理想的圆一样光滑、看不到最小尺度的皮肤，问出了心中的疑惑： “有理数和整数不一样，它们在数轴上的分布是如此的稠密，以至于根本无法找到彼此紧挨着的下一个有理数。” “如果说因为有了那个超图灵机的力量，所以能完成凡人不可能完成的任务，通过无限次切割，找到密密麻麻的有理数之间的空隙。” “但为什么我们本应该已经走到了无限可分尽头的无理数世界，可这个世界看起来却依旧还可以继续无限分割下去？” 阿基里斯说到此处伸出手掌，一缕空气被她抓在掌心之中。 她微微用力，这团气体就像是普通的气体一样被捏碎，从她的指缝之间溜走。 明明已经是位于两个有理数之间无穷小的世界，却依旧还藏着无限个无穷小的基本组成部分。 并且，这每一个无穷小的基本组成部分都是一个容纳着实无穷序列的无理数。 如果还有着比无穷小更小的无穷小，那之前所谓的无穷小又算是什么？ “没错，在原始的穷竭法和早期的微积分之中，有着许多模糊不清的地方。” “虽然它们在计算光滑图形的面积上很有效，但它们的理论基础却并不坚固，如同一座空中楼阁。” 李恒抬手从眼前划过，看着手掌的轨迹道： “点动成线，在欧几里得的定义中，他将点称作是没有部分的东西。” “一个没有大小的东西，这个东西的长度自然就是0。” “但点动成线，无穷个点的组合却变成了有着某个具体且有限的长度的线。” “古希腊人最讨厌的0和∞又在这里出现了，这种定义就和0x∞得出某个有限大小的数是一样的。” “在早期的微积分中，就充斥着这种麻烦的问题，本质上是微积分没有能力处理无穷，无论是无穷大还是无穷小。” “嗯，咱们边走边说。” 李恒拉着阿基里斯的手迈步向着街道对面走去。 这个白发女孩下意识地低头看向两人交叠在一起的手掌，回忆起最初地球上的那条街道。 还是一样的触感，但随着她一点一点理解了“运动”、“触碰”的难度，她对于人与人之间的接触也有了与之前完全不一样的理解。 “我见到的只是我眼中的他，我触碰到的手掌也只是我脑海中认知的感受。” “人在这个世界上所能感受到的其他人与物，其实都只是自己脑海中的信息。” “这大概就是所谓的心外无物，人终其一生所能感受到的仅有自己。” 从这恍惚间的思考中回过神来，阿基里斯收回视线，抬头看向面前出现的东西。 那是一幅二维平面直角坐标系，此刻漂浮在两人的面前，一条弯弯曲曲的曲线从原点出发，随着两人的步伐慢慢地向前移动。 “这是笛卡尔发明的坐标系，是解析几何的基础。它可以用来表示变量之间的关系，直观的看到函数的图像，将抽象的代数与直观的几何联系在一起。” “这张坐标系上，横轴是时间t，纵轴是距离S。” “从牛顿和莱布尼茨的微积分，到正式严谨的现代微积分，中间有很多复杂的东西可讨论。” “不过这里不是高数课的课堂，所以用不着去学着计算那些麻烦的定积分、不定积分、常微分方程、偏微分方程。” “现在要讨论的只是微积分和第二次数学危机的有关问题，这个问题与你的名字紧密相关。” “从某种意义上来说，芝诺的思想其实太过超前。” “正是他关于静止与运动、离散与连续的悖论中所涉及到的东西——无穷小量，引起了第二次数学危机。” 芝诺悖论和无穷小量。 阿基里斯低头看向自己胸前的粉白色螺旋状钥匙，望着那个在这无穷小的世界里仍旧看不到具体大小的尖端，她明白了过来。 0.99…，这是一个无穷级数。 想要让0.99…=1，就需要迈出最后的那一步，也就是加上一个大小为9\/∞的数值。 无法处理的恼人的无穷又在这里出现了。 不仅仅是无穷小，还有那个让阿基里斯真正追上乌龟的最后一步的问题。 以有限的凡人的思想，这个无穷序列根本就没有所谓的最后一步。 就像是台灯悖论，一个台灯经过无限次开关后的状态是什么？ 用数字表示，就是1-1 1-1…的无穷级数求和。 如果根据 …来计算，那么这个级数的和等于0。 如果根据1 …，那么这个级数的和就等于1。 两种计算在数学上都是正当的，这个级数的和似乎既为1又不为1，但这是不可能的。 这是一种被称为振荡级数的发散级数，没有收敛的有限值。 ∞是奇数还是偶数？ 从这个震荡级数也能看出，无穷不是整数，没有奇偶性，也没有什么最后一步可言。 同样的，每一个无理数也根本没有什么最后一位的说法。 阿基里斯抬头看向面前漂浮着的平面坐标系上那条弯弯曲曲向上延伸的白色曲线道： “所以，第一次数学危机是有关于无法数尽的无理数的无穷大的问题，第二次数学危机其实是有关于无穷小的问题？” 难怪说无穷大和无穷小是同样的麻烦，与无穷有关的东西就没有简单的。 李恒指着面前的平面直角坐标系道： “函数中最简单的是线性关系，行走时匀速前进v=s\/t，每一个时刻的速度都等于平均速度。” “但实际上很难遇到这种理想的状况，从静止到运动有加速、从运动到静止有减速。” “世界上到处都是非线性的事物，想要描述这种不均匀的非线性状态，就必须用到微积分。” “速度等于距离除以时间，利用微分的无穷切割思想，要做的就是将这条曲线截取无穷小的一部分。” “在这无穷小的一部分上，曲线变成了直线，因此就可以用之前计算线性运动的方式来计算瞬时速度。” “v=ds\/dt，曲线上每一点的瞬时速度就是这一点的切线的斜率。” 李恒将面前的平面直角坐标系放大，把路程中的其中一小段曲线挑选了出来。 “这段曲线的函数表达式是s=t^3” “假设我们现在用无穷小的时间dt走出了一个无穷小的距离ds。” “从而得到等式，S＋ds=t^3 3t^2dt 3t^2 ^3” “然后，按照微积分的计算方式，因为等式右侧包含^2和^3的项是比无穷小更小的高阶无穷小，所以可以直接舍去，只保留等式中最低阶的无穷小dt和ds。” “于是s ds=t^3 3t^2dt，得出ds\/dt=3t^2，这就是这条曲线的切线斜率。” “这是微积分中很基本的导数计算，得出的结论也完美符合实际结果，无疑是正确的。” “但是，发现里面的问题了吗？” 阿基里斯看看那个比无穷小更小的高阶无穷小，再看看那个ds\/dt的式子，明白了那个模糊不清的问题在哪里了。 “0不能作为除数，所以dt不是等于0，同样的，^2也不是0。” “不是0，却可以在等式的右侧当做0直接略去，并且依旧得出完全相等的结果。” 李恒点点头道： “这就是牛顿和莱布尼茨的微积分中藏着的问题，无穷小量是一个极为奇怪的东西。” “它可以作为除数，所以不是真的等于0，但它又必须像是0一样满足x dx=x这样的方程。” “我说的对吧，贝克莱主教？” 阿基里斯转头看向出现在两人身旁的这个男人。 他的头上戴着大大的黑色兜帽，穿着教会传统的黑色装束，表情严肃且认真，手中捧着厚厚的一堆传单，上面隐约可以看到“打倒牛顿霸权主义”、“推翻莱布尼茨暴政”的字样。 这位教会的主教此刻看着面前的两人，缓缓地点了点头，语气赞赏地道： “说的不错，牛顿的流数术是先取Δs\/Δt，这里的Δt当然不可以为零，但紧接着又令Δt为零来求得瞬时速度。那么这个Δt到底是不是零？” “这些逐渐消失的增量是什么？它们既不是有限量，更不是空无，或许我们应该把它们称为消逝的幽灵更合适。” “这些计算方法不过是隐晦的神秘物，它们是模糊和混乱的，是无理和荒谬的！”